Devido o meu envolvimento no projeto OBEDUC do observatório da Educação, pequei alguns jogos que estejam de alguma forma explanando conteúdos do Ensino Fundamental do 9° Ano.
Aqui tratarei da prancha trigonométrica.
Ela é composta por duas partes: uma branca e outra transparente.
Na primeira parte temos um círculo trigonométrico de raio 1 (que na verdade creio que seja uns 6 cm) com divisões em ângulos por dentro do círculo e em radianos por fora. Só para recordar lembre-se que podemos converter um ângulo em radianos multiplicanduo por $\pi$ e dividindo por 180. Na duvida utilize a boa e velha regrinha de três.
No eixos horizontal (eixo x) temos a marcação dos cossenos. No vertical temos os senos e na reta que tangência o círculo (toca em um único ponto sem entrar) o eixo das tangêntes.
Temos ainda em PVC transparente com uma reta e uma circunferência. A reta indica a tangênte na reta vertical que tangencia o círculo trigonométrico e o círculo indica o seno e o cosseno do ângulo formado pela reta com o eixo x. Veja um exemplo:
Temos que a intersecção do circulo vermelho mostra que o cosseno e o seno de 45° são $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. A reta mostra que que a tangente é 1.
Já sabia que a reta iria indicar a tangênte pois tinha estudado a respeito durante o Ensino Médio. Porém não sabia porque a intersecção do círculo com os eixos mostram o seno e o cosseno do ângulo. Então comecei a fazer umas continhas.
Seja a euquação do circulo trigonométrico maior
$$x^2+y^2=1$$ já que ele é unitário, teremos que a equação desse círculo vermelho que é menor será $$(x-a)^2+(y-b)^2=(1/2)^2$$ em que o seu centro C está nas coordenadas cartesianas $(a,b)$.
Agora entra a sacada! Notem que o centro varia com o ângulo que a reta faz com o eixo x. Para, por exemplo, o ângulo sendo 0° o centro da circunferencia vermelha estará no ponto $(0.5,0$. Já para o ângulo 90° o centro estará no ponto $(0,0.5)$. Como o eixo x mostra o cosseno temos que o $a$ do centro é dado por $0.5\cos \alpha$ e o $b$ do centro é dado por $0.5\sin \alpha$ em que $\alpha$ é o ângulo que a reta vermelha faz com o eixo x.
Ficamos com o centro $$C=1/2(\cos \alpha, \sin \alpha).$$ Substituindo na equação do círculo, temos
$$(x-1/2\cos \alpha)^2+(y-1/2\sin \alpha)^2=1/4$$
espandindo e simplificando obteremos
$$x^2+y^2-x\cos \alpha -y \sin \alpha =0.$$
Para obtermos a intersecção com os eixos coordenados basta zerar um dos eixos por vez. Para $y=0$ temos que $x=0$ ou $x=\cos \alpha$ e para $x=0$ temos $y=0$ ou $y=\sin \alpha$. Note que $(0,0)$, $(0,\cos \alpha)$ e $(\sin \alpha,0)$ são os pontos intersecção da circunferência vermelha e indicam os o seno e o cosseno do ângulo analisado.
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